| Приветствую Вас Гость | RSS |
|
Главная » 2010 » Май » 24 » 10-18 Интерполяция
|
Интерполяция, интерполирование — способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Задача вычисления значений функции между узлами таблицы называется интерполяцией функции.
Существует несколько способов интерполяции:
- метод Ньютона;
- метод Лагранжа;
- спалйн-интерполяция (интерполяция сплайнами).
Интерполяция многочлен Ньютона - этот метод используетса для равно отстоящих узлов.
x2-x1=x1-x2=h=дельта x=const;
дельта x = xi+1-xi=h;
Пусть известны зн. фун-ции в узлах табл.
yi=F(xi);
составим первые разн. значения функции:
дельта y = F(xi+1)-F(xi)=y1-y0;
Затем выч. разн. от 1х разностей, получим 2е разности.
(" ^ "-delta)
======|========|========|==========|
^y | ^2y | ^3y | ^4y |
---------- |--------------|---------------|-----------------
y1-y0; | ^y1-^y0; | ^2y1-^2y0; | ^3y1-^3y0; |
y2-y1; | ^y2-^y1; | ^2y2-^2y1; | .... |
y3-y2; | ^y3-^y2; | ^2y3-^2y2; | .... |
y4-y3; | ^y4-^y3; | ^2y4-^2y3; | .... |
=================================
В общем виде: ^yn - yn+1 - yn = F(xn+1) - F(xn)=
= F(x0*h*n) - F(x0*h*(n-1));
-----------------------------------------------
Конечн. разн. можно выразить через функцию
delta^k*y1 = delta^k-1*yi-1 - delta^k-1*yi;
delts^ky0 = yk - kyk-1 + k(k+1)/2! * yk-2 + ... + (-1)^ky0;
N(x0+th)=y0 + tSy0 + t(t-1)/2! * S^2 * y0 + ... + t(t-1)..(t-n-1)/n! * delta^n * y0;
x=x0+th;
t=x-x0/h;
x-x1/h=t-1;
x-2/h=t-2;
Каждый последующий член ряда вносит меньший вклад в результат по сравнению с предыдушими.
---------------------------------------------------
2. Интерполяция многочлен Лагранжа
Будем искать интерполяционный многочлен в виде ряда:
Y(x)= a0+a1x1+a2x^2+a3x^3+anx^n;
Для вычисления коэфициентов а0..аn необходимо составить н-линейн. уравнений:
{y1=a0+a1x1+a2x1^2+a3x1^3;
{y2=a0+a1x2+a2x2^2+a3x2^3;
{...;
система имеет ед. решение если узлов таблицы нет повторяющихся
xi(=/)xj; i(=/)j;
Будем искать результ. многочлен в виде линейной комбинации:
L(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+y2L2(x)... ; (3)
Потребуем чтобы этот многочлен обр. в 0.
Во всех узлах интерполяции кроме i где он должен обр в единицу.
Этим условием удовл. система:
{
{L0(x)=(x-x1)(x-x2)...(x-xn)/(x0-x1)(x0-x2)...(x0-xn);
{
{L1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-x2)/(x1-x0)(x1-x2)...(x2-x3); (4)
В общем виде:
Li = (x-x0)(x-x1)...(x-xn)/(xi-x0)(xi-x1)...(xi-xn); (5)
Подставим выражение (5) вс ур-е (3) получим интерполяционный многочлен Лагранжа.
L(x)=E(i=0 ->n) yi* (x-x0)(x-x1)(x-xi-1)(x-xi+1)(x-xn)/(xi-x0)(xi-x1)(xi-xi-1)(xi-xi+1)(xi-xn); (6)
Выражение 6 интерполяционный многочлен лагранжа может применятся для неравностоящих узлов.
Обозн. через произведения числителя и знаменателя выр. стояшими под зн суммы.
П(j=/i)=(x-xi)/(xi-xj), тогда :
L(x)=E(i=0 -> n) F(xi) П(j=/i) (x-xi)/(xi-xj); (7)
Частные случаи:
1. Линейная интерполяция по 2м узлам.
N=1. L1(x)=((x-x1)/(x0-x1))y0 + ((x-x0)/(x1-x0))Y1; (8)
2. Квадрат. интерполяция:
L2(x)= (x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)y0 + (x-x0)(x-x2)/(x1-x0)(x1-x2)y1 + (x-x0)(x-x2)/(x2-x1)(x2-x1)y0;
3. Кубическая интерполяция:
L3(x)= (x-x1)(x-x2)(x-x3)/(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)y0 + (x-x0)(x-x2)(x-x3)/(x1-x0)(x1-x2)(x1-x3)y1 + (x-x0)(x-x1)(x-x2)/(x2-x0)(x2-x1)(x2-x3)y2 + (x-x0)(x-x1)(x-x2)/(x3-x0)(x3-x1)(x3-x2) y3; (10)
----------------------------------------------------
Интерполяция сплайнами:
Пусть отрезок [a,b] разбит на n равных частей. спалйном называется функция которая вместе со своими производными непрерывна на всем отрезке [a,b].
Max на всем част. отрезкам степень многочлена называется степень спалайна.
На пр. исп. кубич. сплайн.
S3(x) = (xi+1 - xi)^2(2(x-xi)+h)/h^3 Yi + (x-xi)^2(2(xi+1-x)+h)/h^3 Yi+1 + (xi+1-x)^2(x-xi)/h2 mi + (x-x1)^2(x-xi+1)/h^2 mi+1;
n=xi+1 - xi - шаг таблицы;
mi, mi+1 - производные.
Для вычисления производной:
Y' = Lim (^x->0) ^F/^x = Lim(^x->0) F(x-^x)-F(x)/^x = Lim F(xi+1) - F(xi)/xi-1 - xi;
|
|
Просмотров: 1943 |
Добавил: DareMeZ
| Рейтинг: 0.0/0 |
|
|
|
| |
Шпоргалки для технарей и не очень... |
|
 |
|
 |
|
 |
|
 |
| Поиск |
|
 |
|
| Календарь |
| « Май 2010 » | | Пн | Вт | Ср | Чт | Пт | Сб | Вс | | | | | | | 1 | 2 | | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | | 31 |
|
|
|
| Архив записей |
|
|
|
| Наш опрос |
|
|
|
| Статистика |
Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0 |
|
|
